a) Berechne die Seitenlänge $bb$, falls gilt: $a=8\text{cm}a\; =\; 8\; \backslash text\{cm\}$ und $c=\text{10 cm}c\; =\; \backslash text\{10\; cm\}$.

Wende den Satz des Pythagoras an.

Es gilt: $a^2+b^2=c^{2}a^2+b^2=\; c^2$ stelle nach $bb$ um.

$b=\sqrt{c^2-a^2}b=\; \backslash sqrt\{c^2-a^2\}$

$b=\sqrt{(10cm{)}^2-(8cm{)}^2}b=\; \backslash sqrt\{(10cm)^2-(8cm)^2\}$

$b=\sqrt{36c{m}^2}b=\; \backslash sqrt\{36cm^2\}$

$b=6cmb=6cm$

b) Drücken Sie allgemein, also unabhängig von den in Teilaufgabe a) betrachteten Zahlenwerten, $\sin \alpha \backslash sin\backslash alpha$ und $\cos \alpha \backslash cos\; \backslash alpha$ durch die Seitenlängen $aa$, $bb$ und $cc$ aus und zeigen Sie mithilfe dieser Ausdrücke, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck gilt: $(\sin \alpha {)}^2+(\cos \alpha {)}^2=1(\backslash sin\; \backslash alpha)^2+(\backslash cos\; \backslash alpha)^2=1$.

Im rechtwinkeligen Dreieck gilt:

$a^2+b^2=c^{2}a^2+b^2=c^2$

$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}}}={\displaystyle \frac{a}{c}}\backslash sin\backslash alpha=\backslash dfrac\{\backslash text\{Gegenkathete\}\}\{\backslash text\{Hypothenuse\}\}=\backslash dfrac\{a\}\{c\}$

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypothenuse}}}={\displaystyle \frac{b}{c}}\backslash cos\backslash alpha\; =\; \backslash dfrac\{\backslash text\{Ankathete\}\}\{\backslash text\{Hypothenuse\}\}\; =\backslash dfrac\{b\}\{c\}$

Zeige, dass in jedem rechtwinkeligen Dreieck gilt:

$(\sin \alpha {)}^2+(\cos \alpha {)}^2=1(\backslash sin\; \backslash alpha)^2+(\backslash cos\; \backslash alpha)^2=1$

Setze für $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{a}{c}}\backslash sin\backslash alpha\; =\; \backslash dfrac\{a\}\{c\}$ und für $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{b}{c}}\backslash cos\backslash alpha=\backslash dfrac\{b\}\{c\}$ ein.

$({\displaystyle \frac{a}{c}}{)}^2+({\displaystyle \frac{b}{c}}{)}^2=1\backslash bigg(\backslash dfrac\{a\}\{c\}\backslash bigg)^2+\backslash bigg(\backslash dfrac\{b\}\{c\}\backslash bigg)^2=1$

${\displaystyle \frac{a^2+b^2}{c^2}}=1\backslash dfrac\{a^2+b^2\}\{c^2\}=1\backslash hspace\{10mm\}$ löse nach $c^{2}c^2$ auf

$a^2+b^2=c^{2}a^2+b^2=c^2$